Question

2．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，則稱f（x）是一個(gè)“關(guān)于t的函數(shù)”．給出下列“關(guān)于t的函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“關(guān)于t的函數(shù)”；
②“關(guān)于$\frac{1}{2}$的函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）=x²是一個(gè)“關(guān)于t的函數(shù)”．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②．

Answer 1

分析 根據(jù)關(guān)于t的函數(shù)的定義，分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①若f（x）=c≠0，取t=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，
即f（x）=c≠0是一個(gè)“t函數(shù)”；故f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“關(guān)于t的函數(shù)”錯(cuò)誤．
②若f（x）是“是關(guān)于$\frac{1}{2}$的函數(shù)”，則f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，取x=0，則f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）任意一個(gè)為0，則函數(shù)f（x）有零點(diǎn)；
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）均不為0，
則f（0）、f （$\frac{1}{2}$）異號(hào)，由零點(diǎn)存在性定理知，在（0，$\frac{1}{2}$）區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；
故“關(guān)于$\frac{1}{2}$的函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，正確；
③若f（x）=x²是一個(gè)“關(guān)于t函數(shù)”，則（x+t）²=-tx²，求得t=0且t=-1，矛盾．故不正確，
故正確的結(jié)論是②，
故答案為：②

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與與函數(shù)有關(guān)的新定義題，考查了函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．