Question

11．點(diǎn)P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}$=1的右支上任意一點(diǎn)，由P向兩條漸近線作平行線交漸近線于M、N兩點(diǎn)，若平行四邊形OMPN面積為3，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 求出|OA|，P點(diǎn)到OA的距離，利用平行四邊形OBPA的面積為3，求出a，可得c，即可求出雙曲線的離．

解答 解：雙曲線的漸近線方程是：3x±ay=0，設(shè)P（m，n）是雙曲線上任一點(diǎn)，
過(guò)P平行于OB：3x+ay=0的方程是：3x+ay-3m-an=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-ay=0}\\{3x+ay-3m-an=0}\end{array}\right.$，得兩直線交點(diǎn)A（$\frac{3m+an}{6}，\frac{3m+an}{2a}$），
|OA|=$\sqrt{（\frac{3m+an}{6}）^{2}+（\frac{3m+an}{2a}）^{2}}$=$\frac{|3m+an|\sqrt{{a}^{2}+9}}{6a}$，
P點(diǎn)到OA的距離是：d=$\frac{|3m-an|}{\sqrt{{a}^{2}+9}}$，
∵|OA|•d=1，
∴$\frac{|3m+an|\sqrt{{a}^{2}+9}}{6a}•\frac{|3m-an|}{\sqrt{{a}^{2}+9}}=3$，即$\frac{|9{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{6a}=3$，
∵9m²-a²n²=9a²，
∴a=2，則c=$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，
∴e=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．