Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$
（1）求函數(shù)f（x）的值域A；
（2）解不等式f（lgx）＞f（-1）；
（3）設(shè)函數(shù)$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（{a-1}）x+a}$的定義域為集合B，若A∩B≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求當x≥0時的取值范圍即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．
（3）求出集合B，利用集合的關(guān)系建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的值域A即為x≥0時，f（x）的取值范圍．
當x≥0時，$0＜{（{\frac{1}{2}}）^x}≤1$，故函數(shù)f（x）的值域A=（0，1]．
（2）當x≥0時，$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$則函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（lgx）＞f（-1），∴不等式等價為f（|lgx|）＞f（1），
即|lgx|＜1，∴-1＜lgx＜1
解得$\frac{1}{10}＜x＜10$，即不等式的解集為（$\frac{1}{10}$，10），
（3）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（{a-1}）x+a}$
∴函數(shù)g（x）的定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|（x-a）（x+1）≤0}
若a≤-1，則B={x|a≤x≤-1}，此時A∩B=∅，不符合題意，
故a＞-1，即B={x|-1＜x＜a}，
∵A∩B≠∅，所以a＞0，
綜上所述，a的取值范圍為a＞0．

點評 本題主要考查函數(shù)的值域，單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系和應(yīng)用，利用函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．