Question

7．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：AC₁⊥BD
（Ⅲ）證明：面BDE⊥面ACC₁．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于O，連接OE，推導(dǎo)出AC₁∥OE，由此能證明AC₁∥平面BDE．
（II）推導(dǎo)出AC⊥BD，由此能證明CC₁⊥BD．
（Ⅲ）由面ACC₁⊥BD，能證明面BDE⊥面ACC₁．

解答 證明：（I）連接AC交BD于O，連接OE
∵ABCD是正方形，∴O為AC的中點，
∵E是棱CC₁的中點，∴AC₁∥OE，
又∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（II）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，面ACC₁⊥BD，BD?平面BDE，
∴面BDE⊥面ACC₁．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．