Question

7．定義一種新運算：$a?b=\left\{\begin{array}{l}b，（a≥b）\\ a，（a＜b）\end{array}\right.$，已知函數(shù)$f（x）=\frac{4}{x}?（1+{log_2}x）（x＞0）$，若函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，則k的取值范圍為（0，2）．

Answer 1

分析 由新定義可得函數(shù)f（x）的解析式，問題等價于函數(shù)f（x）與y=k的圖象有兩個交點，作出函數(shù)的圖象可得答案．

解答 解：令$\frac{4}{x}$=1+log₂x，可解得x=2，此時函數(shù)值為2，
而且當0＜x≤2時，$\frac{4}{x}$≥1+log₂x，當x＞2時$\frac{4}{x}$＜1+log₂x，
$f（x）=\frac{4}{x}?（1+{log_2}x）（x＞0）$=$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x，0＜x≤2}\\{\frac{4}{x}，x＞2}\end{array}\right.$，
函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個零點等價于
函數(shù)f（x）與y=k的圖象有兩個交點，
作出函數(shù)的圖象：
由圖象可知，k的取值范圍為（0，2），
故答案為：（0，2）．

點評 本題考查根的存在性即個數(shù)的判斷，數(shù)形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．