Question

15．已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x、y∈R）．
（1）z滿足|z-4i|=|z+2|，求2^x+4^y的最小值及相應(yīng)x、y值．
（2）z滿足|z-1|+|z+1|=4．求|z|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)模長的幾何意義和線段的垂直平分線可得x+2y=3，由基本不等式可得；
（2）由復(fù)數(shù)模長的幾何意義$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，三角換元可得x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，由復(fù)數(shù)的模長公式和三角函數(shù)可得．

解答 解：（1）∵z滿足|z-4i|=|z+2|，
∴z=x+yi表示到（0，4）和（-2，0）距離相等的點，
由線段的垂直平分線可得x+2y=3，
故2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2^x=4^y即x=$\frac{3}{2}$且y=$\frac{3}{4}$時取等號
故2^x+4^y的最小值為4$\sqrt{2}$，相應(yīng)x、y值分別為$\frac{3}{2}$和$\frac{3}{4}$；
（2）∵z滿足|z-1|+|z+1|=4．
∴z在以（-1，0）和（1，0）為焦點的橢圓上
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故可得x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ
∴|z|2=4cos²θ+3sin²θ=3+cos²θ∈[3，4]，
∴|z|的取值范圍為[$\sqrt{3}$，2]

點評 本題考查復(fù)數(shù)求模，涉及基本不等式和三角換元的思想，屬中檔題．