Question

2．已知f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$t）=t²+at+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，0]時(shí)，f（x）的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若x∈[0，+∞）時(shí)，|f（x）|≤3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，即有t=（$\frac{1}{2}$）^x，可得f（x）的解析式；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，（1≤t≤2），討論t=1，t=2，t=-$\frac{a}{2}$取得最小值3，求得a，檢驗(yàn)即可得到所求a的值；
（3）若x∈[0，+∞）時(shí)，|f（x）|≤3恒成立，即為t=（$\frac{1}{2}$）^x，（0＜t≤1），即有-3≤t²+at+1≤3，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，即有t=（$\frac{1}{2}$）^x，
即有f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+a•（$\frac{1}{2}$）^x+1；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，（1≤t≤2），
則y=t²+at+1，由t=1時(shí)，取得最小值為3，
即為2+a=3，解得a=1，由對(duì)稱軸t=-$\frac{1}{2}$在區(qū)間[1，2]的左邊，
[1，2]遞增，即有t=1最�。�
由t=2取得最小值3，即有5+2a=3，解得a=-1，
由對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$在區(qū)間[1，2]的左邊，
[1，2]遞增，即有t=1最小，舍去；
若t=-$\frac{a}{2}$取得最小值3，即為1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=3，無(wú)解，
綜上可得a=1；
（3）若x∈[0，+∞）時(shí)，|f（x）|≤3恒成立，
即為t=（$\frac{1}{2}$）^x，（0＜t≤1），即有-3≤t²+at+1≤3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{t}-t}\\{a≥-\frac{4}{t}-t}\end{array}\right.$，
由y=$\frac{2}{t}$-t在（0，1]遞減，即有a≤1；
由y=-t-$\frac{4}{t}$在（0，1]遞增，即有a≥-5，
綜上可得-5≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．