Question

7．己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
（I）證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n-$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1，利用等差數(shù)列的定義即可證明，進(jìn)而得出b_n，a_n．
（II）c_n=a_n-$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=n•2ⁿ-$\frac{1}{n（n+1）}$=n•2ⁿ-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）證明：數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
∴b_n+1-b_n=1，b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=1．
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ．
（II）解：c_n=a_n-$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=n•2ⁿ-$\frac{1}{n（n+1）}$=n•2ⁿ-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列$\{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\}$的前n項(xiàng)和為B_n．
則A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
B_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=A_n-B_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．