Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a＜100），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象只有一個公共點(diǎn)，求整數(shù)a的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)定義求解即可
（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化為2^2x+1=（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）•2^x，
令t=2^x，則方程可化為（a-1）t²$-\frac{4}{3}$at-1=0，
分類討論利用二次函數(shù)求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）
根據(jù)對數(shù)性質(zhì)化簡得出：-x-kx=kx
即-1-k=k
k=-$\frac{1}{2}$
（2）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象只有一個公共點(diǎn)，
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一個實(shí)數(shù)根．
即2^2x+1=（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）•2^x，
令t=2^x，則方程可化為（a-1）t²$-\frac{4}{3}$at-1=0，
①a=1，t=$-\frac{4}{3}$
②△=0，a=$\frac{3}{4}$或a=-3，
③一個正根一個負(fù)根，a＞1，∵a＜100，∴1＜a＜100，
綜上a=-3，2，3，4，…99，共99個

點(diǎn)評 本題綜合考查了函數(shù)的定義性質(zhì)，方程的運(yùn)用，分類討論的思想，屬于中檔題．