Question

9．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定K（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$（|AB|為線段AB的長度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“近似曲率”．設(shè)曲線y=$\frac{1}{x}$上兩點(diǎn)A（a，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，a）（a＞0且a≠1），若m•K（A，B）＞1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，求得A，B處切線的斜率，由新定義求出兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“近似曲率”，代入m•K（A，B）＞1化簡，根據(jù)恒成立以及基本不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由y=$\frac{1}{x}$得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得k_A=-$\frac{1}{{a}^{2}}$，k_B=-a²，
|AB|=$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}{a}-a）^{2}}$=$\sqrt{2}$|a-$\frac{1}{a}$|，
可得K（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{|{a}^{2}-\frac{1}{{a}^{2}}|}{\sqrt{2}|a-\frac{1}{a}|}$=$\frac{|a+\frac{1}{a}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{a+\frac{1}{a}}{\sqrt{2}}$，
由m•K（A，B）＞1恒成立，
可得m＞$\frac{\sqrt{2}}{a+\frac{1}{a}}$，由a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，
又a＞0且a≠1，則等號不成立，
即有$\frac{\sqrt{2}}{a+\frac{1}{a}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故m≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩點(diǎn)間的距離公式，以及恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的新定義的內(nèi)容進(jìn)行分析、判斷，屬于中檔題．