Question

9．已知拋物線C₁的焦點與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點重合，拋物線C₁的頂點在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₁分別相交于A、B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₁的標準方程；
（Ⅱ）求△ABO面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓的右焦點，可得拋物線的p=2，進而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+4，代入拋物線方程，運用韋達定理，由△ABO面積為S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|，代入韋達定理，化簡由不等式的性質，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點為（1，0），
設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
則拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+4，
代入拋物線方程可得，
y²-4my-16=0，
判別式為16m²+64＞0恒成立，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
則△ABO面積為S=S_△OAM+S_△OBM=$\frac{1}{2}$•|OM|•|y₁-y₂|
=2|y₁-y₂|=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=2$\sqrt{16{m}^{2}+64}$≥2$\sqrt{64}$=16，
當且僅當m=0時，△ABO的面積取得最小值16．

點評 本題考查橢圓和拋物線的方程和性質，考查直線和拋物線的方程的聯立，運用韋達定理，同時考查三角形的面積的最值的求法，注意運用不等式的性質，屬于中檔題．