Question

3．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E（0，1）且與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)G，且$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，求k的值；
（3）設(shè)點(diǎn)A為橢圓的下頂點(diǎn)，k_AC，k_AD分別為直線(xiàn)AC，AD的斜率，證明：對(duì)任意的k，恒有k_AC•k_AD=-2．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率結(jié)合隱含條件求得a，c的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)出直線(xiàn)方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得C，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，把$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的關(guān)系，代入根與系數(shù)的關(guān)系后求得k值；
（3）由橢圓方程求出A的坐標(biāo)，得到k_AC，k_AD，代入根與系數(shù)的關(guān)系證得答案．

解答 （1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，即a²=3c²，
又b²=4，a²=b²+c²，
∴c²=2，a²=6．
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）解：如圖，由題意可知，直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，
設(shè)其方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+6kx-9=0．
再設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{9}{2+3{k}^{2}}$，
若$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，則x₁=x_G-x₂，即x₁+x₂=x_G，
由y=kx+1，取y=0可得${x}_{G}=-\frac{1}{k}$，
∴$-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}=-\frac{1}{k}$，解得：$k=±\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）證明：由題意方程可得A（0，-2），
則${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}，{k}_{AD}=\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$，
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=${k}^{2}（-\frac{9}{2+3{k}^{2}}）+k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+1$=$\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+2$=$\frac{4}{2+3{k}^{2}}$．
∴k_AC•k_AD=$\frac{\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}+\frac{8}{2+3{k}^{2}}+4}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{18}{2+3{k}^{2}}}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}=-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，屬中檔題．