Question

16．六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（1）甲不站兩端；
（2）甲、乙必須相鄰；
（3）甲、乙不相鄰；
（4）甲、乙按自左至右順序排隊(duì)（可以不相鄰）；
（5）甲、乙站在兩端．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，首先分析甲的情況，易得甲有4種情況，再將剩余的5個(gè)人進(jìn)行全排列，安排在其余5個(gè)位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，再把甲、乙進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，因?yàn)榧�、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（4）根據(jù)題意，先將甲、乙以外的4人從6個(gè)位置中挑選4個(gè)位置進(jìn)行排列共有A₆⁴種，剩下的兩個(gè)位置，左邊的就是甲，右邊的就是乙，問題得以解決．
（5）根據(jù)題意，首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，再讓其他4人在中間位置作全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案

解答 解：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有A₄¹種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有A₅⁵種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站A₄¹A₅⁵=480（種）．
方法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選 2個(gè)人站，有A₅²種站法，然后中間4人有A₄⁴種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法A₅²A₄⁴=480（種）．
方法三：若對甲沒有限制條件共有A₆⁶種法，甲在兩端共有2A₅⁵種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有A₆⁶-2A₅⁵=480（種）．
（2）先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，有A₅⁵種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A₂²種站法，根椐分步計(jì)數(shù)原理，共有A₅⁵A₂²=240（種）站法．
（3）因?yàn)榧�、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有A₄⁴種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有A₅²種，故共有站法為A₄⁴A₅²=480（種）．
（4）先將甲、乙以外的4人從6個(gè)位置中挑選4個(gè)位置進(jìn)行排列共有A₆⁴種，剩下的兩個(gè)位置，左邊的就是甲，右邊的就是乙，全部排完，故共有A₆⁴=360種．
（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A₂²種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A₄⁴種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A₂²A₄⁴=48（種）．
方法二：首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有A₂²種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4人去站，有A₄⁴種站法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A₂²A₄⁴=48種站法．

點(diǎn)評 本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一個(gè)中檔題目．