Question

7．已知對任意n∈N^*，點$（{a_{n+1}}^2-\frac{1}{2}{n^2}，{a_n}（2{a_{n+1}}-{a_n}）+\frac{1}{2}{n^2}）$，在直線y=x上，若a₁=1，a_n＞0，則a_n=$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得${a}_{n}（2{a}_{n+1}-{a}_{n}）+\frac{1}{2}{n}^{2}={{a}_{n+1}}^{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}$，整理得$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）^{2}={n}^{2}$，結合a_n＞0，可得a_n+1-a_n=n，然后利用累加法求得答案．

解答 解：∵點$（{a_{n+1}}^2-\frac{1}{2}{n^2}，{a_n}（2{a_{n+1}}-{a_n}）+\frac{1}{2}{n^2}）$在直線y=x上，
∴${a}_{n}（2{a}_{n+1}-{a}_{n}）+\frac{1}{2}{n}^{2}={{a}_{n+1}}^{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}$，
即${{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}={n}^{2}$，
∴$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）^{2}={n}^{2}$，
則a_n+1-a_n=±n，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=n，
則a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）+（n-2）+…+1+1=$\frac{n（n-1）}{2}+1=\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$；
故答案為：$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了累加法求數列的通項公式，是中檔題．