Question

12．為備戰(zhàn)“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”，我市某高中擬成立兩個(gè)“數(shù)學(xué)競賽班”，經(jīng)過學(xué)校預(yù)選，選出40名學(xué)生，編成A，B兩個(gè)班，分別由兩位教師擔(dān)任教練進(jìn)行培訓(xùn)；經(jīng)過兩個(gè)月的培訓(xùn)，參加了市里組織的數(shù)學(xué)競賽初賽（只有經(jīng)過初賽，取得相應(yīng)名次，才能取得參加省統(tǒng)一組織的“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”復(fù)賽資格），這40名學(xué)生的初賽成績的莖葉圖如圖：
市數(shù)學(xué)會(huì)規(guī)定：140分以上（含140分）為市級一等獎(jiǎng)，135分以上（含135分）為市級二等獎(jiǎng)，100分以上（含100分）為市級三等獎(jiǎng)．
（1）由莖葉圖判斷A班和B班的平均分$\overline{{x}_{A}}$，$\overline{{x}_{B}}$的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）；
（2）按照規(guī)則：獲得市一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的同學(xué)才能獲得省里組織的“全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽”復(fù)賽資格，我們稱這些同學(xué)為“種子選手”，請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為稱為“種子選手”與班級有關(guān)？

	A班	B班	合計(jì)
種子選手
非種子選手
合計(jì)

（3）若在“種子選手”中選出3人，其中含有“獲市級一等獎(jiǎng)”的同學(xué)中為X人，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖可知A班數(shù)據(jù)的重心偏下，可得：故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）根據(jù)莖葉圖求出列聯(lián)表中各個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算出臨界值，可得結(jié)論；
（3）由（2）知：種子選手共13人，其中獲市一等獎(jiǎng)的人數(shù)為6人，由題意，X滿足參數(shù)為13，6，3的超幾何分布所以X的所有可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得答案．

解答 解：（1）莖葉圖可知A班數(shù)據(jù)的重心偏下，故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）由莖葉圖可知，“種子選手”共有13名，其中A班3人，B班10人，非種子選手27人，其中A班17人，B班10人，從而2×2聯(lián)表如下：

	A班	B班	合計(jì)
種子選手	3	10	13
非種子選手	17	10	27
合計(jì)	20	20	40

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得                           …（6分）
K²=$\frac{40×（3×10-17×10）^{2}}{20×20×27×13}$≈5.584
因?yàn)?.584＞5.024，所以能夠“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下”認(rèn)為成為‘種子選手’與班級有關(guān)…（8分）
（3）由（2）知：種子選手共13人，其中獲市一等獎(jiǎng)的人數(shù)為6人，由題意，X滿足參數(shù)為13，6，3的超幾何分布所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{35}{286}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{126}{286}$=$\frac{63}{143}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{105}{286}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{20}{286}$=$\frac{10}{143}$…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{35}{286}$	$\frac{63}{143}$	$\frac{105}{286}$	$\frac{10}{143}$

∴EX=0×$\frac{35}{286}$+1×$\frac{63}{143}$+2×$\frac{105}{286}$+3×$\frac{10}{143}$=$\frac{18}{13}$…（12分）
（或由超幾何分布的期望計(jì)算公式EX=n×$\frac{M}{N}$=3×$\frac{6}{13}$=$\frac{18}{13}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是獨(dú)立性檢驗(yàn)，莖葉圖，古典概型，是統(tǒng)計(jì)和概率的綜合應(yīng)用，難度中檔．