Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ）的定義域為R，設(shè)θ∈[0，2π]，若f（x）為偶函數(shù)，求θ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合兩角和差的正弦和余弦公式進行求解即可．

解答 解：∵f（-x）=sin（-x+θ）+cos（-x-θ）=sinθcosx-cosθsinx+cosxcosθ-sinxsinθ，
∴若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即sinθcosx-cosθsinx+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ
∴-cosθsinx-sinxsinθ=f（x）=sinxcosθ+sinxsinθ
∴-2sinxcosθ=2sinxsinθ
∴sinx（sinθ+cosθ）=0
∴θ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵θ∈[0，2π]，
∴當k=1時，θ=$\frac{3π}{4}$，
當k=2時，θ=$\frac{7π}{4}$，
故θ=$\frac{3π}{4}$或θ=$\frac{7π}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，結(jié)合兩角和差的正弦和余弦公式是解決本題的關(guān)鍵．