Question

15．如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)A離地面4米，最低點(diǎn)B離地面2米．觀察者從距離墻x（x＞1）米，離地面高a（1≤a≤2）米的C處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角∠ACB=θ．
（1）若a=1.5，問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大？
（2）若tanθ=$\frac{1}{2}$，當(dāng)a變化時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首項(xiàng)利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步利用判別式確定函數(shù)的最大值；
（2）利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系，利用a的取值范圍即可確定x的范圍．

解答 解：（1）如圖，作CD⊥AF于D，則CD=EF，
設(shè)∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，則θ=α-β，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=$\frac{2.5}{x}$，tanβ=$\frac{0.5}{x}$，
則tanθ=tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1.25}$（x＞0），
令u=$\frac{2x}{{x}^{2}+1.25}$，則ux²-2x+1.25u=0，
∵上述方程有大于0的實(shí)數(shù)根，∴△≥0，
即4-4×1.25u²≥0，∴u≤$\sqrt{\frac{1}{1.25}}$，即（tanθ）_max=$\sqrt{\frac{1}{1.25}}$，
∵正切函數(shù)y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函數(shù)，
∴視角θ同時(shí)取得最大值，
此時(shí)，x=$\frac{2}{2u}$=$\sqrt{1.25}$，
∴觀察者離墻$\sqrt{1.25}$米遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大；
（2）由（1）可知，tanθ=$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{4-a}{x}-\frac{2-a}{x}}{1+\frac{4-a}{x}•\frac{2-a}{x}}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+8-6a+{a}^{2}}$，
即x²-4x+4=-a²+6a-4，
∴（x-2）²=-（a-3）²+5，
∵1≤a≤2，
∴1≤（x-2）²≤4，
化簡得：0≤x≤1或3≤x≤4，
又∵x＞1，
∴3≤x≤4．

點(diǎn)評 本題考查應(yīng)用兩角和的正切公式及其函數(shù)的單調(diào)性與最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．