Question

20．給定平面上四點A，B，C，D，滿足AB=2，AC=4，AD=6，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，則△DBC面積的最大值為$8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用向量的數(shù)量積公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面積可得A到BC的距離，即可求出△DBC面積的最大值．

解答 解：∵AB=2，AC=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$，
設(shè)A到BC的距離為h，則由等面積可得$\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•h$=$\frac{1}{2}•2•4•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=2，
∴△DBC面積的最大值為$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{3}$（2+6）=$8\sqrt{3}$．
故答案為：$8\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求出BC，A到BC的距離是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．