Question

若函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域的每一個(gè)值x₁，在其定義域內(nèi)都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．給出以下命題：
①y=

1

x2

是“依賴函數(shù)”；
②y=2^x“依賴函數(shù)”；
③y=lnx是“依賴函數(shù)”；
④y=f（x），y=g（x）都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，則y=f（x）•g（x）是“依賴函數(shù)”．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：證明題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：理解“依賴函數(shù)”的定義，注意關(guān)鍵詞：①定義域的每一個(gè)值x₁，②都存在唯一的x₂，③f（x₁）f（x₂）=1．逐一驗(yàn)證．

解答： 解：①當(dāng)x₁=2時(shí)，f（x₁）=

1

4

，f（x₂）=4，則x₂=±2，所以y=

1

x2

不是“依賴函數(shù)”；不是真命題．
②由2x1•2x2=1知，x₂=-x₁，唯一確定；則y=2^x“依賴函數(shù)”；是真命題．
③由于當(dāng)x₁=1時(shí)，ln1=0，不存在x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，則y=lnx不是“依賴函數(shù)”；不是真命題．
④由y=f（x）=

1

x

，y=g（x）=

1

x

都是“依賴函數(shù)”，且定義域相同，但y=f（x）•g（x）=

1

x2

不是“依賴函數(shù)”．不是真命題．
則真命題有：②．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題是給出定義，直接應(yīng)用的新題，要抓住關(guān)鍵詞，是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．