Question

14．如果x是實(shí)數(shù)，且x＞-1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+x）ⁿ＞1+nx．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，證明不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)命題成立，用上歸納假設(shè)，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，∵x≠0，∴（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（1+x）^k+1=（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由（1）（2）可知，不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì) 解答，注意放縮法的合理運(yùn)用，屬于中檔題．