Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，sin（ωx+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow{n}$=（2，2sin（ωx-$\frac{π}{6}$））（其中ω為正常數(shù)），設(shè)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-2，且函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求當(dāng)$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$時(shí)，tanx的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，從而得到f（x）=sin（$2ωx+\frac{2π}{3}$），根據(jù)已知條件即知f（x）的周期為π，從而求出ω=1．而根據(jù)$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得到tan（x+$\frac{π}{3}$）=1，而根據(jù)兩角和的正切公式即可求出tanx；
（2）求出f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$），所以由x的范圍求出2x$+\frac{2π}{3}$的范圍，從而根據(jù)正弦函數(shù)圖象即可求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2+2sin（ωx+\frac{π}{3}）sin（ωx-\frac{π}{6}）$=2+sin（2ωx$+\frac{2π}{3}$）；
∴f（x）=sin（$2ωx+\frac{2π}{3}$）；
函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心便是f（x）和x軸的交點(diǎn)；
∴函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離便是半個(gè)周期；
∴f（x）的周期為π，ω＞0；
∴$\frac{2π}{2ω}=π$；
∴ω=1；
∴$\overrightarrow{m}=（1，sin（x+\frac{π}{3}））$，$\overrightarrow{n}=（2，2sin（x-\frac{π}{6}））$；
$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴$2sin（x-\frac{π}{6}）=2sin（x+\frac{π}{3}）$；
∴$cos（x+\frac{π}{3}）=sin（x+\frac{π}{3}）$；
∴$tan（x+\frac{π}{3}）=\frac{tanx+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanx}=1$；
∴解得tanx=$\sqrt{3}-2$；
（2）f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$2x+\frac{2π}{3}∈[\frac{2π}{3}，\frac{5π}{3}]$；
∴根據(jù)y=sinx的圖象即知f（x）的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量平行時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系，以及兩角和的正切公式，對(duì)正弦函數(shù)圖象的運(yùn)用．