Question

8．若sinαcosα＜0，sinαtanα＜0，化簡(jiǎn)$\sqrt{\frac{1-sin\frac{α}{2}}{1+sin\frac{α}{2}}}$+$\sqrt{\frac{1+sin\frac{α}{2}}{1-sin\frac{α}{2}}}$．

Answer 1

分析 由已知求出α的范圍，進(jìn)一步得到$\frac{α}{2}$的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，分類去絕對(duì)值后得答案．

解答 解：∵sinαcosα＜0，∴α為第二或第四象限角，
∵sinαtanα＜0，∴α為第二或第三象限角，
則α為第二象限角，∴$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ$，k∈Z，
則$\frac{π}{4}+kπ＜\frac{α}{2}＜\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
∴$\frac{α}{2}$為第一或第三象限角，
則$\sqrt{\frac{1-sin\frac{α}{2}}{1+sin\frac{α}{2}}}$+$\sqrt{\frac{1+sin\frac{α}{2}}{1-sin\frac{α}{2}}}$=$\sqrt{\frac{（1-sin\frac{α}{2}）^{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}+\sqrt{\frac{（1+sin\frac{α}{2}）^{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$
=$\frac{1-sin\frac{α}{2}}{|cos\frac{α}{2}|}+\frac{1+sin\frac{α}{2}}{|cos\frac{α}{2}|}$．
當(dāng)$\frac{α}{2}$為第一象限角時(shí)，原式=$\frac{1-sin\frac{α}{2}+1+sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}=\frac{2}{cos\frac{α}{2}}$；
當(dāng)$\frac{α}{2}$為第三象限角時(shí)，原式=$\frac{1-sin\frac{α}{2}+1+sin\frac{α}{2}}{-cos\frac{α}{2}}=-\frac{2}{cos\frac{α}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，關(guān)鍵是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．