Question

11．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①若$\overline a$=（λ，2），$\overline b$=（-3，1），且$\overline a$與$\overline b$夾角為銳角，則λ∈（-∞，$\frac{2}{3}$）；
②若△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，則△ABC是鈍角三角形；
③若△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，則△ABC是正三角形．

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量夾角與向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，注意向量共線的情況．
②根據(jù)向量夾角和向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行判斷，
③根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合正弦定理進(jìn)行判斷．

解答 解：①若$\overline a$=（λ，2），$\overline b$=（-3，1），且$\overline a$與$\overline b$夾角為銳角，
則$\overline a$•$\overline b$＞0且$\overline a$與$\overline b$不能同向共線，
由$\overline a$•$\overline b$＞0得-3λ+2＞0得λ＜$\frac{2}{3}$，
當(dāng)$\overline a$與$\overline b$同向共線時(shí)，滿足$\frac{λ}{-3}$=$\frac{2}{1}$＞0，得λ=-6，
則當(dāng)$\overline a$與$\overline b$夾角為銳角時(shí)，λ＜$\frac{2}{3}$且λ≠-6，故①錯(cuò)誤，
②若△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，則AB•BCcos（π-B）＜0，則-cosB＜0，則cosB＞0，
則B是銳角，無法得到△ABC是鈍角三角形；故②錯(cuò)誤
③若△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$，
則|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos（π-B）=|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{CA}$|cos（π-C）=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos（π-A），
即-AB•BCcosB=-BC•CAcosC=-CA•ABcosA，
即AB•BCcosB=BC•CAcosC=CA•ABcosA
由AB•BCcosB=BC•CAcosC得ABcosB=CAcosC，
由正弦定理得sinC•cosB=sinB•cosC，
即tanC=tanB，則B=C，同理得C=A，
則A=B=C，
則△ABC是正三角形．故③正確，
故正確是只有③，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及向量數(shù)量積的定義，向量數(shù)量積與夾角的公式以及正弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力．