12.已知等差數(shù)列{an}中,a3=9,a5=17,記數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為Sn,若S2n+1-Sn≤$\frac{m}{15},({m∈Z})$,對(duì)任意的n∈N*成立,則整數(shù)m的最小值為( 。
A.5B.4C.3D.2

分析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,利用通項(xiàng)公式可得an=4n-3.可得數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為Sn=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$.則S2n+1-Sn=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f(n),利用其單調(diào)性可得:f(n)≤f(1).而S2n+1-Sn≤$\frac{m}{15},({m∈Z})$,對(duì)任意的n∈N*成立,等價(jià)于(S2n+1-Snmax≤$\frac{m}{15}$,解出即可.

解答 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a3=9,a5=17,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=9}\\{{a}_{1}+4d=17}\end{array}\right.$,解得a1=1,d=4.
∴an=1+4(n-1)=4n-3.
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為Sn=1+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{4n-3}$.
則S2n+1-Sn=$\frac{1}{4n+1}$+$\frac{1}{4n+5}$+…+$\frac{1}{8n+1}$=f(n),
f(n+1)-f(n)=$\frac{1}{8n+9}-\frac{1}{4n+1}$<0,
∴數(shù)列{f(n)}單調(diào)遞減,
∴f(n)≤f(1)=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$.
∵S2n+1-Sn≤$\frac{m}{15},({m∈Z})$,對(duì)任意的n∈N*成立,
∴(S2n+1-Snmax≤$\frac{m}{15}$,
∴$\frac{14}{45}$<$\frac{m}{15}$,
解得m>$\frac{14}{3}$,
∴整數(shù)m的最小值為5.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、數(shù)列的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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