Question

17．已知△ABC是銳角三角形，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求角B的最大值，并判斷此時△ABC的形狀；
（2）若A，B，C成等差數(shù)列，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列性質(zhì)可求b²=ac，利用余弦定理可得cosB$≥\frac{1}{2}$，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得B的最大值是$\frac{π}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取“=”，即可判定此時三角ABC是等邊三角形．
（2）由等差數(shù)列性質(zhì)可得，2B=A+C，解得B=60°，化簡sinA+sinC可得$\sqrt{3}$sin（30°+C），結(jié)合范圍$\left\{{\begin{array}{l}{{0°}＜C＜{{90}°}}\\{{0°}＜{{120}°}-C＜{{90}°}}\end{array}}\right.$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得其范圍．

解答 解：（1）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$．…（3分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取“=”，
∴B的最大值是$\frac{π}{3}$，此時三角ABC是等邊三角形．…（5分）
（2）∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∴B=60°…（6分）
∴$sinA+sinC=sin（{120°}-C）+sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}sin（{30°}+C）$，…（7分）
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{0°}＜C＜{{90}°}}\\{{0°}＜{{120}°}-C＜{{90}°}}\end{array}}\right.$，
∴30°＜C＜90°，
∴60°＜30°+C＜120°，
∴$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}sin（{30°}+C）≤\sqrt{3}$．
∴$\frac{3}{2}＜sinA+sinC≤\sqrt{3}$．…（10分）

點評 本題主要考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．