Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\frac{f′（1）}{2}$e^2x-2+x²-2f（0）x，g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 如果s、t、r滿足|s-r|≤|t-r|，那么稱s比t更靠近r．當a≥2且x≥1時，試比較$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪個更靠近lnx，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對f（x）求導求出f′（1）的值求出解析式．
（Ⅱ）f（x）=e^2x-2x+x²，$g（x）=f（\frac{x}{2}）-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}+\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}-a（x-1）$g′（x）=e^x-a．對g′（x）討論得出結(jié)論；
（Ⅲ）設$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={e^{x-1}}+a-lnx$，∵$p'（x）=-\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，對兩函數(shù)分別求導得出最值，再根據(jù)條件得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1．
又$f（0）=\frac{f'（1）}{2}•{e^{-2}}$，所以f′（1）=2e²，所以f（x）=e^2x+x²-2x．

（Ⅱ）∵f（x）=e^2x-2x+x²，
∴$g（x）=f（\frac{x}{2}）-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}+\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}-a（x-1）$，
∴g′（x）=e^x-a．
①當a≤0時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增；
②當a＞0時，由g′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴當x∈（-∞，lna）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當x∈（lna，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
綜上，當a≤0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；當a＞0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）．

（Ⅲ）解：設$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={e^{x-1}}+a-lnx$，
∵$p'（x）=-\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，
∴p（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，又p（e）=0，
∴當1≤x≤e時，p（x）≥0，當x＞e時，p（x）＜0．
∵$q'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，$q''（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x^2}＞0$，
∴q′（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）時，q′（x）≥0，
∴q（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，∴q（x）≥q（1）=a+2＞0．
①當1≤x≤e時，$|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，
設$m（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，則$m'（x）=-\frac{e}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，
∴m（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
②當x＞e時，$|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-\frac{e}{x}+2lnx-{e^{x-1}}-a＜2lnx-{e^{x-1}}-a$，
設n（x）=2lnx-e^x-1-a，則$n'（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}$，$n''（x）=-\frac{2}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，
∴n′（x）在x＞e時為減函數(shù)，
∴$n'（x）＜n'（e）=\frac{2}{e}-{e^{e-1}}＜0$，
∴n（x）在x＞e時為減函數(shù)，
∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
綜上：在a≥2，x≥1時，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

點評 本題主要考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用和利用導數(shù)解決不等式證明的問題，屬于難度較大題型，在高考中作壓軸題出現(xiàn)．