Question

20．我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知F₁，F(xiàn)₂是一對相關(guān)曲線的焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當(dāng)∠F₁PF₂=60°時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設(shè)a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，F(xiàn)₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn，
設(shè)a₁是橢圓的實半軸，a₂是雙曲線的實半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得3a₂²-4c²+a₁²=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}$=1
即3e₁²=1
∴e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故選：A．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的定義，考查了橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．