Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，求函數(shù)f（x）的零點及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 令f（x）=0，即可得到函數(shù)的零點，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：由f（x）=0，可得1-lnx=0，
解得x=e，
即函數(shù)的零點為e；
函數(shù)f（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{-\frac{1}{x}•{x}^{2}-（1-lnx）•2x}{{x}^{4}}$
=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x＞${e}^{\frac{3}{2}}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜${e}^{\frac{3}{2}}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）的增區(qū)間為（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞），減區(qū)間為（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）．

點評 本題考查函數(shù)的零點的求法和導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查運算能力，屬于中檔題．