Question

14．已知a是實數，函數f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，其中e是自然對數的底數．
（1）設a≤0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設a=0時，試比較g（x）與f（x）+2的大小，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）求函數定義域、導數，再分類討論得出函數的單調區(qū)間；
（2）構造新函數φ（x）=g（x）-f（x）-2，運用導數研究該函數的單調性，求出φ（x）的最小值，只需說明最小值大于零即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
且f'（x）=a+$\frac{1}{x}$（x＞0），其中，a≤0，分類討論如下：
①當a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調遞增；
②當a＜0時，令f'（x）=$\frac{a（x+\frac{1}{a}）}{x}$=0，解得x=-$\frac{1}{a}$，
當x∈（0，-$\frac{1}{a}$）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
（2）當a=0時，f（x）=lnx，g（x）=e^x，則g（x）＞f（x）+2，證明如下：
構造函數φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，φ'（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
φ''（x）=e^x+$\frac{1}{x^2}$＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ'（x）在（0，+∞）上單調遞增．
設x=t為方程φ'（x）=0的根，則e^t=$\frac{1}{t}$，即t=e^-t．
當x∈（0，t）時，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上單調遞減；
當x∈（t，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上單調遞增．
所以，φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2，
又因為φ'（1）=e-1＞0，φ'（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，所以，t∈（$\frac{1}{2}$，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（$\frac{1}{2}$，1）上單調遞增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-2＞0．
∴g（x）-f（x）＞2．
即g（x）＞f（x）+2．

點評 本題主要考查了運用導數研究函數的單調性和確定函數的單調區(qū)間，考查了分類整合思想、轉化思想和綜合運用知識分析解決問題的能力，屬于中檔題．