Question

5．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N是左、右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+c），由于此直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切，可得$\frac{\sqrt{3}c}{2}$=$\frac{a}$，與a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△＞0，由于以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0），可得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（1+k²）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m，k的關(guān)系式，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
F（-c，0），∴過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+c），
由于此直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切，∴$\frac{\sqrt{3}c}{2}$=$\frac{a}$，
又a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為：3+4k²＞m²．（*）
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{（mk-2）（-8km）}{3+4{k}^{2}}$+m²+4=0，
化為：7m²+16km+4k²=0，
∴7m+2k=0，或m+2k=0．
都滿足（*）．
當(dāng)7m+2k=0時(shí)，直線l化為：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直線l經(jīng)過定點(diǎn)$（\frac{2}{7}，0）$．
當(dāng)7m+2k=0時(shí)，直線l化為：y=k（x-2），直線l經(jīng)過定點(diǎn)（2，0），舍去．
因此直線l經(jīng)過定點(diǎn)：$（\frac{2}{7}，0）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．