Question

11．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問：在線段BM（端點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM？

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{BM}$的坐標(biāo)表示，假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）在線段BM上使得PC⊥BM，列方程組解出即可．

解答 解：如圖所示，
以B為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
作AD⊥BC，垂足為D：
∴易得A（3，4），M（4，$\frac{8}{3}$），C（6，0），
∴$\overrightarrow{BM}$=（4，$\frac{8}{3}$），
假設(shè)存在P（x，y）在線段BM上使得PC⊥BM，
∴$\overrightarrow{CP}$=（x-6，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y-\frac{8}{3}x=0}\\{4（x-6）+\frac{8}{3}y=0}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{54}{13}$，y=$\frac{36}{13}$；
∴存在P（$\frac{54}{13}$，$\frac{36}{13}$）在BM上，使得CP⊥BM．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，考查了向量的應(yīng)用，考查了兩直線垂直的關(guān)于向量坐標(biāo)的性質(zhì)，是綜合性題目．