Question

2．已知直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4，試討論實數(shù)k的取值范圍，使直線與雙曲線
（1）沒有公共點
（2）有兩個公共點
（3）只有一個公共點
（4）交于異支兩點
（5）交于右支兩點．

Answer 1

分析 將直線方程代入雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程，利用方程的判別式，即可求得k的取值范圍．

解答 解：由題意，直線y=kx-1代入雙曲線x²-y²=4，可得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0．
（1）沒有公共點，△=20-16k²＜0，解得k＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）有兩個公共點，△=20-16k²＞0，解得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（3）只有一個公共點，當1-k²=0，k=±1時，符合條件；當1-k²≠0時，由△=20-16k²=0，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（4）交于異支兩點，$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$＜0，解得-1＜k＜1；
（5）交于右支兩點，△=20-16k²＞0且$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$＞0，$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$＞0，解得1＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，運用判別式解決，注意只有一個公共點時，不要忽視了與漸近線平行的情況，屬于易錯題．