Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx；g（x）=x³-x²-8x-1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意${x_1}∈[1{，^{\;}}e]$，存在${x_2}∈[0{，^{\;}}3]$使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，對a分類討論確定導(dǎo)函數(shù)的正負，得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）要存在${x_2}∈[0{，^{\;}}3]$使得f（x₁）≤g（x₂）成立，則f（x）≤g（x）_max，得出$⇒a≤\frac{lnx-1}{x}=h（x）$，通過構(gòu)造函數(shù)，
求出右式的最小值即可．

解答 解：（1）定義域為（0，+∞）；$f'（x）=a-\frac{1}{x}$…..（1分）
當a≤0時，由f'（x）＜0⇒x＞0
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；…..（3分）
當a＞0時，$f'（x）＜0⇒0＜x＜\frac{1}{a}$
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞減；在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調(diào)遞增；…．（6分）
（2）由$g'（x）=3{x^2}-2x-8＜0⇒-\frac{4}{3}＜x＜2$
∴g（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，3）單調(diào)遞增，
且g（0）=-1＞g（3）=-7，g（x）在區(qū)間（0，3）上的最大值為-1；…（8分）
由條件得：當x∈[1，e]時，f（x）≤g（x）_max=-1
由此$⇒a≤\frac{lnx-1}{x}=h（x）$對x∈[1，e]恒成立；
∵$h'（x）=\frac{2-lnx}{x^2}＞0$對x∈[1，e]恒成立，
∴h（x）在（1，e）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
∴a≤h（x）_min=h（1）=-1…..（12分）

點評 考查了參數(shù)的分類討論，對任意和存在的理解，利用構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最值．