Question

12．設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若[π]=3，[-1.2]=-2．給出下列命題：
①對任意的實數(shù)x，都有x-1＜[x]≤x．
②對任意的實數(shù)x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．
④若函數(shù)f（x）=[x[x]]，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時，令f（x）的值域為A，記集合A中元素個數(shù)為a_n，則$\frac{{a}_{n}+49}{n}$的最小值為$\frac{19}{2}$，其中所有真命題的序號為①②④．

Answer 1

分析 直接利用定義判斷①②；利用新定義分類求出各式的值，作和后加以判斷③；由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進而得到$\frac{{a}_{n}+49}{n}$，用基本不等式求解$\frac{{a}_{n}+49}{n}$的最小值判斷④．

解答 解：對于①，由[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則對任意的實數(shù)x，都有x-1＜[x]≤x，命題①正確；
對于②，記x=[x]+{x}（0≤{x}＜1），y=[y]+{y}（0≤{y}＜1），
則[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]≥[x]+[y]，故②正確；
對于③，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3．
∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，
[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，
[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=90+90×2+1016×3=4938，命題③錯誤；
對于④，根據(jù)題意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{1，x∈[1，2）}\\{…}\\{n-1，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$，
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{x，x∈[1，2）}\\{…}\\{（n-1）x，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$．
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1．
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}+1$，則$\frac{{a}_{n}+49}{n}=\frac{n}{2}+\frac{50}{n}-\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)n=10時，最小值為$\frac{19}{2}$，命題④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假的判斷，對新定義的理解應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進而研究其定義域和值域，該題是中檔題．