Question

7．已知M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點，N為點M在直線x=3上的射影，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，其中O為坐標原點．
（I）求動點P的軌跡E的方程；
（II）過點A（1，4）的直線l與（I）中曲線E相切，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M（m，n），由題意可得N（3，n），設P（x，y），由向量的坐標運算可得x，y，再由橢圓方程，即可得到所求的軌跡方程；
（Ⅱ）設點A（1，4）的直線l的方程為x-1=m（y-4），再由直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得m，進而得到直線方程．

解答 解：（1）設M（m，n），由題意可得N（3，n），
設P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
可得x=3+m，y=2n，
即為m=x-3，n=$\frac{1}{2}$y，
代入橢圓方程，可得（x-3）²+y²=4，
則動點P的軌跡E的方程為圓（x-3）²+y²=4；
（2）設點A（1，4）的直線l的方程為x-1=m（y-4），
即為x-my+4m-1=0，
由曲線E為圓心（3，0），半徑r=2的圓，
直線l與（I）中曲線E相切，可得
d=r=2，即有$\frac{|3-0+4m-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=2，
解方程可得，m=0或-$\frac{4}{3}$．
則切線l的方程為x=1或3x+4y-19=0．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用代入消元法，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．