Question

6．某人準(zhǔn)備投資盈利相互獨立的甲、乙兩個項目，投資甲項目x萬元，一年后獲利$\frac{1}{4}$x萬元，$\frac{1}{4}$$\sqrt{x}$萬元、-1萬元的概率分別是0.2，0.4，0.4；投資乙項目x萬元，一年后獲利$\frac{1}{2}$x萬元、0萬元、-$\frac{1}{4}$x萬元的概率分別是0.4，0.2，0.4．
（1）若這兩個項目各投資4萬元，求一年后這兩個項目和不低于0萬元的概率；
（2）若這兩個項目共投資8萬元，你認(rèn)為這兩個項目應(yīng)該分別投資多少萬元？說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出投資甲項目4萬元，一年后獲利1萬元、$\frac{1}{2}$萬元、-1萬元的概率分別是0.2，0.4，0.4，投資乙項目4萬元，一年后獲利2萬元、0萬元、-1萬元的概率分別是0.4，0.2，0.4，由此能求出一年后這兩個項目盈利和不低于0萬元的概率．
（Ⅱ）設(shè)投資項目甲x萬元，投資項目乙8-x萬元，求出盈利期望和y=$\frac{-x+2\sqrt{x}+8}{20}$，從而得到應(yīng)該投資項目甲1萬元，項目乙7萬元．

解答 解：（Ⅰ）投資甲項目4萬元，一年后獲利1萬元、$\frac{1}{2}$萬元、-1萬元的概率分別是0.2，0.4，0.4，
投資乙項目4萬元，一年后獲利2萬元、0萬元、-1萬元的概率分別是0.4，0.2，0.4，…（2分）
所以一年后這兩個項目盈利和不低于0萬元的概率是：
p=0.4×1+0.2×0.6+0.4×0.2=0.6．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)投資項目甲x萬元，投資項目乙8-x萬元，
盈利期望和y=$0.2×\frac{1}{4}x+0.4×\frac{1}{4}\sqrt{x}$+0.4×（-1）+0.4×$\frac{1}{2}$（8-x）+0.4×（-$\frac{1}{4}$）（8-x），
化簡得y=$\frac{-x+2\sqrt{x}+8}{20}$，…（9分）
所以當(dāng)x=1時，y最大，最大值是$\frac{2}{5}$萬元，
綜上：應(yīng)該投資項目甲1萬元，項目乙7萬元．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．