Question

已知無窮數(shù)列{a_n]滿足：a₁=1，2a₂=a₁+a₃，且對于任意n∈N^*，都有a_n＞0，a²_n+1=a_na_n+2+4．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，令n=1，得a22=a₁a₃+4，令n=2，得a32=a2a4+4，由此能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由an+12=a_na_n+2+4，得an+22=an+1an+3+4，由此推導(dǎo)出數(shù)列{

an+an+2

an+1

}為常數(shù)數(shù)列從而能求出a_n=2n-1．

解答： 解：（1）由條件，?n∈N^*，an+12=a_na_n+2+4，
令n=1，得a22=a₁a₃+4．…（2分）
又∵2a₂=a₁+a₃，且a₁=1，解得a₂=3，a₃=5．…（4分）
再令n=2，得a32=a2a4+4，解得a₄=7． …（6分）
（2）∵an+12=a_na_n+2+4，①
∴an+22=an+1an+3+4，②
由①-②得，an+12-an+22=（a_na_n+2+4）-（a_n+1a_n+3+4）
=a_na_n+2-a_n+1a_n+3 …（8分）
∴an+12+an+1an+3=an+22+anan+2，
∴a_n+1（a_n+1+a_n+3）=a_n+2（a_n+a_n+2），
∴

an+an+2

an+1

=

an+1+an+3

an+2

，∴數(shù)列{

an+an+2

an+1

}為常數(shù)數(shù)列．…（12分）
∴

an+an+2

an+1

=

a1+a3

a2

=2，
∴a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．  …（14分）
又公差d=a₂-a₁=2，∴a_n=2n-1．…（16分）

點評：本題考查數(shù)列中前4項的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．