Question

20．在△ABC中，已知a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，cosA=$\frac{2}{3}$，則△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式可得bc≤$\frac{9}{4}$．由cosA，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sinA．再利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA即可得出△ABC面積的最大值．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴$\frac{6}{4}$=b2+c2-$\frac{4}{3}$bc≥2bc-$\frac{4}{3}$bc=$\frac{2}{3}$bc，化為bc≤$\frac{9}{4}$．當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號．
∵cosA=$\frac{2}{3}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{\sqrt{5}}{6}×\frac{9}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號．
∴△ABC的面積S的最大值為$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．