Question

5．已知冪函數f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈Z）的圖象關于y軸對稱且與x軸、y軸無交點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）討論函數g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$的奇偶性（a、b∈R）．

Answer 1

分析 （1）根據冪函數的性質確定m即可求函數f（x）的解析式，并畫出它的圖象；
（2）求出g（x）的表達式，根據函數奇偶性的定義分別進行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象與x軸、y軸無交點，
則m²-2m-3≤0，解得-1≤m≤3，
∵m∈Z，∴m=-1，0，1，2，3
若m=0，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$是奇函數，關于y軸不對稱，不滿足條件．
若m=1，f（x）=x^-4=$\frac{1}{{x}^{4}}$是偶函數，關于y軸對稱，滿足條件．
若m=2，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$是奇函數，關于y軸不對稱，不滿足條件．
∴m=1，f（x）=x^-4；
當m=-1或m=3時，f（x）=x⁰=1，是偶函數，滿足條件．
（2）g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$=a$\sqrt{{x}^{-4}}$-$\frac{x•{x}^{-4}}$=ax^-2-bx³，
∵y=x^-2是偶函數，y=x³是奇函數
①a≠0且b≠0時，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數；
②a=0且b≠0時，F(xiàn)（x）為奇函數；
③a≠0且b=0時，F(xiàn)（x）為偶函數；
④a=b=0時，F(xiàn)（x）為奇且偶函數．

點評 本題主要考查冪函數的性以及冪函數解析式的求解，函數奇偶性的判斷，考查學生推理運算能力．