Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，若$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}=3\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，則向量$\overrightarrow{x}$與$\overrightarrow{y}$的夾角的余弦值是$-\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式求出$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^{2}}，|\overrightarrow{y}|=\sqrt{{\overrightarrow{y}}^{2}}$，然后帶入向量夾角的余弦公式即可求出向量$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$夾角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（3\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=$7\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow}^{2}=\frac{7}{2}-2-3=-\frac{3}{2}$；
$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}=\sqrt{4-2+1}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{y}|=\sqrt{9{\overrightarrow}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow{a}}^{2}}=\sqrt{9-3+1}=\sqrt{7}$；
∴$cos＜\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}＞=\frac{\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故答案為：$-\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，求向量$\overrightarrow{x}$長(zhǎng)度的方法：$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^{2}}$，以及向量夾角的余弦公式．