Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²-（5a-1）x+3a+1（a∈R）．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論a=0，a≠0結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范即可；（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)：f（x）=x+1，在[1，+∞）遞增，符合題意；
a≠0時(shí)：若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則只需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{5a-1}{2a}≤1}\end{array}\right.$即可，解得：0＜a≤$\frac{1}{3}$，
綜上：a∈[0，$\frac{1}{3}$]；
（2）a=0時(shí)：f（x）=x+1，在區(qū)間[1，5]上無(wú)零點(diǎn)，不合題意，
a≠0時(shí)：即0＜a≤$\frac{1}{7}$時(shí)：若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，5]上有零點(diǎn)，
只需f（1）＜0，f（5）＞0即可，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-（5a-1）+3a+1＜0}\\{25a-5（5a-1）+3a+1＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
由（1）得：0＜a≤$\frac{1}{7}$，
故不存在滿足條件的a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是一道中檔題．