Question

14．已知函數(shù)f（x）=（1+a）x-$\frac{1}{2}$x²-alnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：m、n∈N_*時(shí)，m（m+n）[$\frac{1}{ln（m+n）}$+$\frac{1}{ln（m+n-1）}$+$\frac{1}{ln（m+n-2）}$+…+$\frac{1}{ln（m+1）}$]＞n．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{-（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0）．對(duì)a分類(lèi)討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）可知：當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，1＜x，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．可得lnx＜x²-x，即$\frac{1}{lnx}＞$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$．利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：f′（x）=1+a-x-$\frac{a}{x}$=$\frac{-{x}^{2}+（1+a）x-a}{x}$=$\frac{-（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0）．
當(dāng)a≤0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得1＜x，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，解得a＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜a，或x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，a），或（1，+∞）單調(diào)遞減．
當(dāng)a=1時(shí)，${f}^{′}（x）=\frac{-（x-1）^{2}}{x}$≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)1＜a時(shí)，令f′（x）＞0，解得1＜x＜a，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，或x＞a，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，1），或（a，+∞）單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）可知：當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，1＜x，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴l(xiāng)nx＜x²-x，
∴$\frac{1}{lnx}＞$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$．
m、n∈N^*，$\frac{1}{ln（m+n）}$+$\frac{1}{ln（m+n-1）}$+$\frac{1}{ln（m+n-2）}$+…+$\frac{1}{ln（m+1）}$
＞$（\frac{1}{m+n-1}-\frac{1}{m+n}）$+$（\frac{1}{m+n-2}-\frac{1}{m+n-1}）$+…+$（\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}）$
=$\frac{1}{m}-\frac{1}{m+n}$，
∴m（m+n）[$\frac{1}{ln（m+n）}$+$\frac{1}{ln（m+n-1）}$+$\frac{1}{ln（m+n-2）}$+…+$\frac{1}{ln（m+1）}$]＞n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．