Question

4．在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；
（II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+$\frac{π}{3}$，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ²=2ρa(bǔ)cosθ，化為x²+y²=2ax，即（x-a）²+y²=a²．
∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；
由l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，展開為$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=\frac{3}{2}$，
∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}$y-3=0．
由直線l與圓C相切可得$\frac{|a-3|}{2}$=a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+$\frac{π}{3}$，
則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）
=3cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，|OA|+|OB|取得最大值2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．