Question

15．設S_n是集合A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}的含有3個元素的所有子集的元素和，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 由于已知集合為A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，利用組合的知識及等比數(shù)列的前n項和公式即可．

解答 解：由于要求集合為A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，它的所有的三個元素的子集的和是S_n，利用子集定義它的含有三個元素的子集中含1的個數(shù)為C_n-1²，
所以它的所有的三個元素的子集的和是S_n=（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）C_n-1²=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$×$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$
=（n²-3n+2）[1-$（\frac{1}{3}）^{n}$]，所以$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．
故答案為：1．

點評 此題考查了等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列的極限，子集的定義，組合數(shù)的知識，及學生的理解與計算能力．