Question

15．設(shè)S_n是集合A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}的含有3個(gè)元素的所有子集的元素和，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 由于已知集合為A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，利用組合的知識(shí)及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可．

解答 解：由于要求集合為A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，它的所有的三個(gè)元素的子集的和是S_n，利用子集定義它的含有三個(gè)元素的子集中含1的個(gè)數(shù)為C_n-1²，
所以它的所有的三個(gè)元素的子集的和是S_n=（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）C_n-1²=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$×$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$
=（n²-3n+2）[1-$（\frac{1}{3}）^{n}$]，所以$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的極限，子集的定義，組合數(shù)的知識(shí)，及學(xué)生的理解與計(jì)算能力．