Question

17．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體的框架，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1．
（1）記長(zhǎng)方體的寬為xm，請(qǐng)寫(xiě)出長(zhǎng)方體的高h(yuǎn)關(guān)于x的表達(dá)式；
（2）當(dāng)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

分析 （1）由長(zhǎng)方體的寬和長(zhǎng)，求出高；
（2）求出它的體積以及定義域，利用導(dǎo)數(shù)，求出體積函數(shù)y的最大值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的寬是多少．

解答 解：（1）∵長(zhǎng)方體的寬為x，長(zhǎng)為2x，
∴高h(yuǎn)=$\frac{1}{4}$（18-4x-4×2x）=$\frac{1}{2}$（9-6x）（0＜x＜$\frac{3}{2}$）；
（2）長(zhǎng)方體的體積為y=2x•x•$\frac{1}{2}$（9-6x）=-6x³+9x²，定義域是（0，$\frac{3}{2}$）；
∵y=-6x³+9x²，（其中0＜x＜$\frac{3}{2}$），
求導(dǎo)數(shù)，得y′=-18x²+18x，
令y′=0，解得x=0，或x=1；
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)，
當(dāng)1＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值，是y_max=-6×1³+9×1²=3．
即長(zhǎng)為2，寬為1，高為$\frac{3}{2}$時(shí)，長(zhǎng)方體的體積最大，最大體積是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性與求最值的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．