Question

已知f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，設(shè)F（x）=f（x+3），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，當(dāng)b-a取得最小值時，a+b等于

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點，即可得出結(jié)論．

解答： 解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰，
x＞-1時，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1時，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2010

-

1

2011

）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點；
∴函數(shù)f（x+3）在[-4，-3]上有一個零點，
∴a=-4，b=-3
∴a+b=-7．
故答案為：-7．

點評：此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．