Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，若△OAB是等邊三角形，則△OAB的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$，得到三角形OAB的高和邊長，根據(jù)面積公式計算即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得|$\overrightarrow{a}$|=1，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
△OAB是等邊三角形，
可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$，
即有$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{a}$|=1，
則三角形OAB的高為1，邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則OAB的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式、向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和模的公式和三角形的面積求法等知識，屬于中檔題．