Question

分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦•曼得爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹(shù)形圖：

已知第三行有白圈5個(gè)，黑圈4個(gè)，我們采用“坐標(biāo)”來(lái)表示各行中的白圈、黑圈的個(gè)數(shù)．比如第一行記為（1，0），第二行記為（2，1），第三行記為（5，4），則第四的白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為

 

．照此規(guī)律，第n行中的白圈、黑圈的“坐標(biāo)”為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，根據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的“坐標(biāo)”；
再根據(jù)前五行的白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可歸納第n行的白圈數(shù)為

3n-1+1

2

，黑圈數(shù)為

3n-1+1

3

-1=

3n-1-1

3

．

解答： 解：根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，
第一行記為（1，0），第二行記為（2，1），第三行記為（5，4），第四行的白圈數(shù)為2×5+4=14；黑圈數(shù)為5+2×4=13，
∴第四行的“坐標(biāo)”為（14，13）；
第五行的“坐標(biāo)”為（41，40），
各行白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈數(shù)為

3n-1+1

2

，黑圈數(shù)為

3n-1+1

3

-1=

3n-1-1

3

，
故答案是（14，13），(

3n-1+1

2

，

3n-1-1

2

)n∈N+．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了歸納推理的應(yīng)用，多觀察幾組數(shù)據(jù)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效方法．