Question

15．過(guò)點(diǎn)M（2，0）作直線L交雙曲線x²-y²=1于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）是否存在這樣的直線L，使OAPB為矩形，若存在，求出L的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線l的方程及A，B，P的坐標(biāo)，雙曲線方程聯(lián)立消去x，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，進(jìn)而聯(lián)立消去m，即可求得P點(diǎn)的軌跡方程．
（2）分類討論，利用x₁x₂+y₁y₂=0，把兩根的和與積代入后整理得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線l：x=my+2，m≠±1，
并設(shè)點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由x=my+2與雙曲線方程，消去x，得（m²-1）y²+4my+3=0，①
由直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得△=（4m）²-12（m²-1）＞0，即4m²+12＞0，恒成立，
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，及方程①，得y=y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，
x=x₁+x₂=（my₁+2）+（my₂+2）=-$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
將上方程組兩式相除得，m=$\frac{y}{x}$，代入到方程x=-$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
整理，得x²-y²-4x=0．
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²-4x=0．
（2）當(dāng)過(guò)M（2，0）的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，把x=2代入雙曲線x²-y²=1得，A（2，$\sqrt{3}$），B（2，-$\sqrt{3}$），此時(shí)不滿足∠AOB=90°，
當(dāng)過(guò)M（2，0）的直線l的斜率存在時(shí)，y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
若∠AOB=90°，則x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-{m}^{2}+4}{{m}^{2}-1}$+$\frac{3}{{m}^{2}-1}$=0
整理得，-m²+7=0．∴m=±$\sqrt{7}$，
∴存在直線L：x±$\sqrt{7}$y-2=0，使OAPB為矩形

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常用“設(shè)而不求的”解題方法，即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，此題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．