Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，則$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，可得△OAB是等邊三角形．設(shè)$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$．由＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，可得點(diǎn)C在△ABC的外接圓上，則當(dāng)OC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$取得最大值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．
∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，
∴△OAB是等邊三角形．
設(shè)$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$．
∵＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，
∴點(diǎn)C在△ABC的外接圓上，
則當(dāng)OC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$取得最大值=$\frac{1}{cos3{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的三角形法則、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．